Aneka matematika dan cara belajarnya

CARA CEPAT BELAJAR MATEMATIKA
JANUARI 23, 2014
KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR
JANUARI 4, 2014
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
JANUARI 4, 2014
KUBUS DAN BALOK
JANUARI 4, 2014
LINGKARAN
JANUARI 4, 2014
PERSAMAAN GARIS LURUS
JANUARI 4, 2014

ARITMATIKA SOSIAL
JANUARI 4, 2014
Pengertian Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif
JANUARI 3, 2014
1. Diketahui x dan y bilangan bulat positif sehingga x² + y² + 2xy + x + y = 20. Hitunglah jumlah dari semua pasangan x.y yang mungkin?
Penyelesaian:
2. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna (5 digit) yang angka-angkanya berturut-turut adalah k, (k+1), (k+2), (3k), (k+3)?
Penyelesaian:
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 2|x| – 15 ≤ 0 ?
Penyelesaian:
4. Tentukan jumlah dari 1 + 2(1/2) + 3(1/4) + 4(1/8) + 5(1/16) + … ?
Penyelesaian:
5. Dari 100.000 buah bilangan positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat satu buah angka 3, satu buah angka 4 dan satu buah angka 5 ?
Penyelesaian:
6. Jika f(2x+4) =x dan g(3-x) = x , maka nilai f(g(1)) + g(f(2)) adalah…
Penyelesaian:
7. Jika x² + y² + xy = 229 dan xy + x + y = 77. Tentukan (x-y)² ?
Penyelesaian:
8. Saat ini umur Wildan dan umur Andro kurang dari 100 tahun. Jika umur Wildan dan umur Andro ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mereka saat ini?
Penyelesaian:
9. Jumlah 101 bilangan berturut-turut adalah 101. Berapakah bilangan bulat yang terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?
Penyelesaian:
10. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2013 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y adalah…
Penyelesaian:
Itulah 10 soal yang telah kami bahas. Jika ada yang tidak sesuai, silahkan konfirmasi ke kami.
Kami tambahkan pula sebuah soal matematika bilingual , di bawah ini:
In a soccer league with 6 teams (P, Q, R, S, T, W), each teams must eventually play each other them exactly once. So far, P has played one match, Q has played two matches, R has played three matches, S has played four matches and T has played five matches. How many matches has W played so far?
Penyelesaian:
Soal dan Pembahasan Try Out UN SMP
I.        Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
1. Apabila a = 3; b = 0; dan c = -3, maka nilai dari { a x (b + c – a)} x ( b + c ) = ……
a. – 54 c. 45
b. – 45 d. 54
Pembahasan :
Diketahui a = 3; b = 0; dan c = -3
Nilai dari { a x (b + c – a)} x ( b + c )
= {3 x ( 0 + (-3) – 3)} x ( 0 + (-3)
= { 3 x ( 0 – 3 – 3 )} x ( 0 – 3 )
= ( 0 – 9 – 9 ) x ( – 3 )
= 0 + 27 + 27
= 54  ( Jawaban : D )
2. Jumlah dua bilangan pecahan saling berkebalikan adalah /15 . Jika salah satu penyebut bilangan itu adalah 5. salah satu bilangan tersebut adalah …….
a. 2/5 c. 5/4
c. 3/5 d. 5/6
Pembahasan :
–    Faktor dari yg penyebutnya 15 adalah 3 dan 5
– Sehingga dapat dinyatakan /3 dan /5
– Jika kedua pecahan saling berkebalikan maka jumlahnya /15
– Jadi : /3 + /5 = /15
/15 + /15 = /15
– Dari pernyataan diatas dapat ditetukan pembilangnya adala 5 dan 3
– Kedua pecahan saling berkebalikan tersebut adalah /3 dan /5
– Salah satu dari kedua pecahan tersebut yang penyebutnya 5 adalah /5
Jawaban : B
4. Suatu jenis pupuk terdiri dari 50% ammonium, 35% super fosfat, dan sisanya besi sulfat. Jika berat pupuk tersebut 15 kg, maka berat besi sulfat adalah …….
a. 22,5 gr c. 2,25 kg
b. 2.25 gr d. 22,5 kg
Pembahasan :
15 kg = 15000 gr
Amonium + super fosfat + besi sulfat = 100%
50% + 35% + besi sulfat = 100%
85% + besi sulfat = 100%
Besi sulfat = 100% – 85%
Besi sulfat = 15%
Jadi 15 % x 15000 gr = 2250 gr = 2.25 kg
Jawaban : C
5. Panjang sebuah pulau sesungguhnya adalah 1.458 km. pulau itu tergambar dengan panjang 54 cm pada sebuah peta. Skala peta itu adalah ……
a. 1 : 270.000 c. 1 : 2.700.000
b. 1 : 787.320 d. 1 : 3.710.562
Pembahasan :
Diketahui : jarak sebenarnya 1.458 km dan jarak pada peta 54 cm.
Ditanya : besar skala pada peta?
Jawab :
– 1.458 km = 145.800.000 cm
– Skala pada peta banding jarak sebenarnya
– 54 : 145.800.000 sama dibagikan dengan 54
= 1 : 2.700.000
Jawaban : C

Tidak bisa dipungkiri bahwa matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang banyak memiliki manfaat dalam kehidupan manusia. Tanpa disadari, banyak sekali bagian dari hidup kita yang berkaitan dengan matematika.
Namun sayangnya, tidak sedikit dari kita yang menganggap bahwa matematika merupakan pelajaran yang menakutkan. Padahal bila kita mengenal matematika dengan baik, maka kita juga akan bisa ‘bersahabat’ dengan matemtika. Salah satu cara kita menyukai matematika adalah dengan mengetahui cara cepat belajar matematika.
Berikut ini adalah cara cepat belajar matematika:
1. Luruskan Niat
Hal pertama yang harus kita lakukan adalah “Meluruskan Niat” dalam belajar matematika, janganlah kita belajar matematika hanya untuk mendapatkan nilai yang bagus sebagai syarat lulus mata ujian Matematika.Kalau cuma mau dapat nilai itu mudah tinggal nyontek aja kan bisa. Ingat tujuan kita adalah mencari ilmu, bukan mencari nilai. Kebanyakan dari kita jika telah melewati ujian/test , maka kita akan meninggalkan dan melupakan materi yang telah kita pelajari tersebut. Maka dari itu niatkan belajar matematika untuk menambah pengetahuan kita. Karena dengan belajar matematika, daya nalar otak kita akan terasah dengan baik sehingga mudah untuk menerima pelajaran yang lainnya. Ingat sekali lagi, jangan hanya berorientasi kepada Hasil ujian, tapi berorientasilah pada Proses belajarnya.
2. Selalu menggunakan cara yang menyenangkan
Siapapun akan setuju bahwa mempelajari sesuatu dengan hati yang senang akan bisa dengan mudah memahami hal tersebut. Begitu juga dengan matematika. Serumit apapun soal matematika, bila kita mempelajarinya dengan senang ataupun menggunakan cara yang menyenangkan, maka kita bisa dengan cepat menguasainya
3. Gunakan simbol
Mengapa harus menggunakan simbol? karena matematika pada dasarnya bersifat abstrak (tidak nyata). Oleh karena itu, supaya kita tidak kesulitan dalam belajar matematika, kita harus bisa memegang, merasakan, serta melihat sehingga kita harus bisa mewujudkan dalam bentuk nyata supaya kita bisa dengan mudah memahami matematika
4. Jabarkan dalam bentuk cerita
Sebuah soal matematika yang sangat rumit dan sulit, akan bisa terlihat mudah untuk dipecahkan bila diuraikan dalam bentuk cerita. Ini berhubungan dengan penggunaan logika berfikir. Oleh karena itu, bila kita telah terbiasa menggunakan logika berfikir dalam memecahkan soalmatematika, maka kita tidak akan menemui kesukitan bila kita menjumpai sebuah soal matematika dalam bentuk cerita
5. Selalu menggunakan logika berfikir
Matematika tidak hanya membutuhkan kemampuan berhitung karena bila hanya berhitung saja, maka kita bisa dengan mudah menggunakan alat bantu seperti kalkulator. Yang paling penting dalam belajar matematika adalah logika berfikir. Oleh karena itu dibutuhkan pemahaman yang benar tentang matematika
6. Kenali, lalu Cintai matematika
Point ini merupakan poin yg paling penting dalam belajar matematika. Kita akan sangat mudah mempelajari sesuatu jika kita mencintainya terlebih dahulu. Bagaimana mau mencintai matematika jika kita tidak mengenalnya? maka langkah pertama adalah kita harus mengenal dulu atau istilah anak muda PDKT dulu. Kita harur mengenal apa itu matematika?, apa fungsi matematika bagi kehidupan sehari hari?.
Memang mengenal itu sulit, tapi kalau sudah niat anda pasti bisa. Jika kamu sudah mengenalnya, maka kamu akan tahu bahwa matematika sangatlah dibutuhkan dalam kehidupan sehari hari. Contoh sederhananya adalah setiap orang pasti perlu menghitung uang. Sungguh tak mungkin kita bisa hidup jauh dari matematika.
Maka Tanamkanlah dalam pikiran kita bahwa matematika itu sesuatu yang berguna, indah, menarik dan sebagai teka-teki yang menyenangkan untuk dipecahkan. jika kita sudah kenal maka cintailah matematika. Jika kita telah mencintainya, Semua rumus yang kelihatannya rumit tiba-tiba akan menjadi mudah untuk dipelajari. Begitulah kekuatan cinta, kalau sudah cinta kita pasti rela memberikan segalanya demi yang kita cintai.
7. Banyak Latihan dan Belajar
Beberapa point diatas akan sangat tidak berguna jika ujung ujungnya kamu tidak mengambil langkah untuk segera belajar dan banyak latihan dengan rajin dan konsisten. Terkadang ada masanya kita semangat sekali untuk belajar, namun ada juga masa-masa ketika malas sekali untuk belajar. Maka disini butuh kedisiplinan serta kekonsistenan dalam mempelajari matematika.
Dalam 1 hari Tidak perlu meluangkan terlalu banyak untuk belajar, cukup sedikit waktu namun tetap kontinyu dan konsisten. Matematika adalah ilmu hitung, tentu akan semakin baik belajar ilmu hitung dengan berlatih menghitung dengan rajin. banyakin latihan membahas/mengerjakan soal-soal, karena jika kita sudah terbiasa, maka akan mudah bagi kita untuk menyelesaikan soal yang sama dikemudian hari. Selain itu hal tersebut juga bisa membuat pemahaman kita kepada matematika semakin mendalam.
Setidaknya ada 7 tahap cara belajar yang baik:
1. Pahami Materi dengan rumus rumusnya
2. Kelompokan rumus rumus yang ada
3. Mulai mengerjakan soal-soal yang ada pembahasannya.
4. Kerjakan soal tadi tanpa liat pembahasan.
5. Kerjakan soal lain yang tipenya sama.
6. Terus berlatih soal-soal yang lain.
7. Jangan hanya belajar dari satu buku, karena biasanya ada buku yang tidak menjelaskan persamaan secara detail sehingga susah untuk dipelajari. Jadi disarankan agar mencari buku referensi yang lain agar semakin mudah dalam mempelajari.
8. Tiada kata “Aku Tak Bisa” dan “Putus Asa”
Putus Asa merupakan penyakit yang paling sering ditemui setiap orang ketika berusaha untuk mendapatkan sesuatu. Ketika kita belajar matematika, hindarilah sejauh mungkin kata putus asa, ketika kita menemukan soal yang rumit,maka segera minta bantuan ke guru matematika atau ke teman yang sudah memahami.
Sebisa mungkin jauhkan diri dari mengucapkan kata “Aku Tak Bisa” karena hal tersebut hanya memperburuk keadaan, ketika kamu merasa bahwa kamu tidak bisa mengerjakannya, maka katakanlah “Aku Pasti Bisa”!! Berilah semangat motivasi untuk diri sendiri, karena setiap permasalahan pasti ada pemecahannya.. Ingat AKU PASTI BISA…..
9. Sabar
Sabar dalam belajar, sabar dalam memecahkan persoalan, sabar dalam melaksanankan segala sesuatu, Ingat orang sabar disayang Tuhan.
10. Berdoa
Sebelum kita memulai belajar matematika, ada baiknya kita berdoa agar tuhan yang maha esa memberi kemudahan bagi kita untuk memecahkan setiap persoalan yang terdapat di materi yang kita pelajari. Tuhan itu kan Maha Pintar, maka mintalah kepada-NYA agar kita bisa memahami materi yang kita pelajari. Selain itu agar kita tetap konsisten dalam belajar dan gigih dalam berusaha, serta tidak mudah putus asa dalam belajar. Jadi selain berusaha kita juga harus berdoa.
A. Pengertian kesebangunan
Perhatikan gambar persegi panjang ABCD dan PQRS di bawah ini! Pada persegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar yaitu 36 mm dan 24 mm, serta persegi panjang PQRS memiliki panjang dan lebar yaitu 58 mm dan 38 mm.
Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegi panjang PQRS adalah 36 : 144 atau 1 : 4. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 96 atau 1 : 4. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu sebagai berikut.
AB/PQ = BC/QR = CD/RS = AD/PS = ¼
Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.
Contoh Soal 1
Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS, hitung panjang QR.
Penyelesaian:
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,
AB/PQ = BC/QR
2/6 = 5/QR
2QR = 30
QR = 15
Jadi, panjang QR adalah 15 cm.
Contoh Soal 2
Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah ini sebangun, tentukan besar∠R dan ∠S.
Penyelesaian:
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga ∠P = 125° dan ∠Q = 80°. Amati layang-layang PQRS, menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga ∠R = ∠P = 125°. Oleh karena sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka
∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
125° + 80° + 125° + ∠S = 360°
∠S = 360° – 330° = 30°
B.Pengertian kekongruenan
Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.
Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C => F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,
AB => BE sehingga AB = BE
BC => EF sehingga BC = EF
DC => CF sehingga DC = CF
AD => BC sehingga AD = BC
∠DAB =>  ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE
∠ABC =>  ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF
∠BCD =>  ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC
∠ADC =>  ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh
1. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.
Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.
Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!
Penyelesaian:
Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.
PQ = √(PR) – (QR)
PQ = √(10) – (6)
PQ = √64
PQ = 8
Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S= 90°. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.
A. Pengertian garis singgung lingkaran
Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar di atas. Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka
» pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB.
» pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB.
» pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung lingkaran di satu titik). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran.
Sekarang perhatikan Gambar di atas . Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB’ yang lebih kecil dari busur AB maka kita peroleh ΔOAB’ sama kaki . (Mengapa?)
∠OAB = ∠OB’A = ½ x (∠180 – AOB’)
Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi maka ∠OAB’ = ∠OB’A akan makin besar dan ∠AOB’ makin kecil. Pada suatu saat garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B’ berimpit dengan titik A dan saat itu berlaku
∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° – ∠AOB’)
∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° – 0°)
∠OAB’ =∠OB’A = 90°
Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung k di titik A.
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
Perhatikan Gambar di atas. Pada Gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.
Karena garis k ⊥  OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut besarnya 90°. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90°.
Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O. Lingkaran tersebut bersinggungan dengan garis g dan h. Garis g memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik A. Sedangkan garis h memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik B. Garis g dan h inilah yang dinamakan garis singgung. Sedangkan titik B dan titik A dinamakan titik singgung. Jadi yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Coba jelaskan mengapa garis l bukan termasuk garis singgung lingkaran?
Perhatikan kembali gambar di atas. Garis g dan garis h tegak lurus OB dan OA, sedangkan OB dan OA adalah jari-jari lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Dapatkah kita membuat garis singgung lainnya di titik A dan di titik B? Ternyata, bagaimanapun caranya, kita tidak akan bisa membuat garis singgung yang lain di titik A dan di titik B. Dengan demikian, kita hanya dapat membuat satu garis singgung lingkaran dari satu titik pada sebuah lingkaran.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Garis c, e, dan f adalah garis singgung lingkaran karena memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari melalui titik singgungnya.
Garis a, b, d, g, dan h bukan garis singgung lingkaran karena jika garisnya di perpanjang, akan memotong lingkaran di dua titik.
A.Volume Kubus dan Balok
Rumus volume kubus (V) dengan panjang rusuk s adalah sebagai berikut.
V = rusuk x rusuk x rusuk
V = s .s.s
V = s
Sedangkan untuk menghitung volume balok (V) dengan ukuran (p x l x t) dapat digunakan rumus sebagai berikut.
V = panjang x lebar x tinggi
V = p x l x t
B. Luas permukaan kubus
Luas permukaan kubus adalah jumlah luas seluruh sisi kubus. Untuk memahaminya silahkan Anda lihatgambar kubus berikut ini.
Gambar di atas menunjukkan sebuah kubus yang panjang setiap rusuknya adalah s . Ingat bahwa sebuah kubus memiliki 6 buah sisi yang setiap rusuknya sama panjang. Pada gambar di atas, keenam sisi tersebut adalah sisi ABCD, ABFE, BCGF, EFGH, CDHG, dan ADHE. Karena panjang setiap rusuk kubus s, maka luas setiap sisi kubus = s . Dengan demikian,
luas permukaan kubus = 6s .
L = 6s ,
Dengan:
L = luas permukaan kubus
s = panjang rusuk kubus
Contoh Soal
Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 8 cm. Tentukan luas permukaan kubus tersebut.
Luas permukaan kubus = 6s
= 6.8
= 384 cm
C.Luas permukaan balok
Luas permukaan balok adalah jumlah luas seluruh sisi balok. Untuk memahaminya silahkan Anda lihatgambar kubus berikut ini.
Balok pada gambar di atas mempunyai tiga pasang sisi yang tiap pasangnya sama dan sebangun, yaitu
(a) sisi ABCD sama dan sebangun dengan sisi EFGH;
(b) sisi ADHE sama dan sebangun dengan sisi BCGF;
(c) sisi ABFE sama dan sebangun dengan sisi DCGH.
Akibatnya diperoleh
luas permukaan ABCD = luas permukaan EFGH = p.l
luas permukaan ADHE = luas permukaan BCGF = l.t
luas permukaan ABFE = luas permukaan DCGH= p.t
Dengan demikian, luas permukaan balok sama dengan jumlah ketiga pasang sisi yang saling kongruen pada balok tersebut. Luas permukaan balok dirumuskan sebagai berikut.
L = 2(p.l) + 2(l.t) + 2(p.t)
= 2{(p.l) + (l.t) + (p.t)}
dengan
L = luas permukaan balok
p = panjang balok
l = lebar balok
t = tinggi balok
Contoh soal
Sebuah balok berukuran (6 x 5 x 4) cm. Tentukan luas permukaan balok.
Penyelesaian:
Balok berukuran (6 x 5 x 4) cm artinya panjang = 6 cm, lebar = 5 cm, dan tinggi 4 cm.
Luas permukaan balok
= 2{(p.l) + (l.t) + (p.t)}
= 2{(6.5) + (5.4) + (6.4)}
= 2(30 + 20 + 24)
= 148 cm
D.Diagonal bidang, ruang dan bidang diagonal kubus
Sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus hampir sama dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh balok. Yang membedakan hanya ukurannya saja. Kubus memiliki sisi yang sama di semua sisinya.
Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok.
1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yangsaling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.
2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH.
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.
4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF .
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF.
6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.
Demikian penjelasan secara singkat mengenai diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal kubus.
E.Diagonal bidang, ruang dan bidang diagonal balok
Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahamidefinisi tersebut coba perhatikan bidang TUVW padagambar di bawah ini.
Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua diagonal bidang, yaitu TV dan UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok memiliki 6 bidang sisi maka balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi.
Diagonal Ruang Balok
Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan gambar berikut di bawah ini.
Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atauS dan U. Garis PV, garis QW, garis RT, dan garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik.
Bidang Diagonal
Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.
Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen.
A.Pengertian Lingkaran
Ban mobil dan uang logam merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran.Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a).
Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.
Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnyasaling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).
B.Unsur-Unsur/Bagian-Bagian Lingkaran
Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.
a. Titik Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas , titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.
b. Jari-Jari (r)
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.
c. Diameter (d)
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.
d. Busur
Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O.
e. Tali Busur
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat pada Gambar di atas.
f. Tembereng
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD.
g. Juring
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
h. Apotema
Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. Agar kamu lebih memahami materi tentang pengertian dan unsur-unsur lingkaran, coba pelajari Contoh Soal berikut ini.
Contoh Soal Tentang Unsur-Unsur Lingkaran
1). Perhatikan gambar lingkaran berikut.
Dari gambar tersebut, tentukan:
a. titik pusat,
b. jari-jari,
c. diameter,
d. busur,
e. tali busur,
f. tembereng,
g. juring,
h. apotema.
Jawab:
a. Titik pusat = titik O
b. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PR
c. Diameter = garis RU
d. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQ
e. Tali busur = garis ST
f. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur ST
g. Juring = QPU, QPR, dan RPU
h. Apotema = garis PV
2). Perhatikan gambar lingkaran berikut.
Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan:
a. diameter lingkaran,
b. panjang garis apotema.
Jawab:
a. Diamaeter merupakan dua kali jari-jari lingkaran:
Diameter (d) = 2 × jari-jari
Diameter (d) = 2 × (10 cm)
Diameter (d) = 20 cm
Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.
b. Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm.
Menurut Teorema Pythagoras :
OR = OQ – QR
OR = (10) – (8)
OR = 100 – 64
OR = 36 cm
OR = √36 cm
OR = 6 cm
Jadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm
C.Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran jika jari – jari berubah
luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) =πr = ¼ π d dan keliling (K) = πd = 2πr. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu?
Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah
Contoh Soal 1
Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.
Penyelesaian:
Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r = 2.
Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r = 4.
»
Selisih luas = L – L
Selisih luas = π(r – r ) (r + r )
Selisih luas = π(4 cm – 2 cm) (4 cm+ 2 cm)
Selisih luas = π x 2 cm x 6 cm
Selisih luas = 12π cm
»
Selisih keliling = K – K
Selisih keliling = 2π(r – r )Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm)Selisih keliling = 2π x 2 cmSelisih keliling = 4π cm
»
Perbandingan luas = L : L
Perbandingan luas = r : r Perbandingan luas = (4 cm ) : (2 cm) Perbandingan luas = 16 cm : 4 cm
Perbandingan luas = 4: 1
»
Perbandingan keliling = K : K
Perbandingan keliling = r : r Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cmPerbandingan keliling = 2 : 1
Contoh Soal 2
Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
a. dua kalinya;
b. (r + 2) cm.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πr cm
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:
L2 = π( 2r) = 4πr cm
K2 = 2π( 2r) = 4πr cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 – L1 = 4πr – πr
L2 – L1 = 3πr cm
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 – K1= 4πr – 2πr
K2 – K1= 2πr cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 : L1 = 4πr cm : πr cm
L2 : L1 = 4 : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 : K1 = 4πr cm : 2πr cm
K2 : K1 = 2 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πr cm
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari ( r + 2) cm adalah:
L2 = π( ( r + 2) cm )
L2 = π (r + 4r + 4) cm
L2 = (πr + 4πr + 4 π) cm
K2 = 2π( ( r + 2) cm )
K2 = (2πr + 4π)cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi ( r + 2 ) cm:
L2 – L1 = (πr + 4πr + 4 π) cm – πr cm
L2 – L1 = (4πr + 4 π) cm
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi ( r + 2) cm:
K2 – K1= (2πr + 4π)cm – 2πr cm
K2 – K1= 4π cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi ( r + 2) cm:
L2 : L1 = (πr + 4πr + 4 π) cm : πr cm
L2 : L1 = (r + 4r + 4) : r
L2 : L1 = (1 + 4/r + 4 r ) : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi ( r + 2) cm:
K2 : K1= (2πr + 4π)cm : 2πr cm
K2 : K1= (r + 2) : r
K2 : K1= (1 + 2/r) : 1
Contoh soal 3
Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya
a. diperbesar tiga kalinya;
b. diperkecil 1/2 kalinya.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:
L1 = πr
L1 = π x (7 cm)
L1 = 22/7 x 49 cm
L1 = 154 cm
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:
L2 = π( 21 cm )
L2 = 22/7 x 441 cm
L2 = 1.386 cm
K2 = 2π( 21 cm )
K2 = 2x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 – L1 = 1.386 cm – 154 cm
L2 – L1 = 1.232 cm
Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 – K1= 132 cm – 44 cm
K2 – K1= 88 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 : L1 = 1.386 cm : 154 cm
L2 : L1 = 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 : K1 = 132 cm: 44 cm
K2 : K1 = 3 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:
L1 = πr
L1 = π x (7 cm)
L1 = 22/7 x 49 cm
L1 = 154 cm
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2 = 7/2 cm) adalah:
L2 = π( 7/2 cm )
L2 = 22/7 x 12,25 cm
L2 = 38,5 cm
K2 = 2π ( 7/2 cm )
K2 = 2 x 22/7 x 7/2 cm
K2 = 22 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L1 – L2 = 154 cm – 38,5 cm
L1 – L2 = 115,5 cm
Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K1 – K2= 44 cm – 22 cm
K1 – K2= 22 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L2 : L1 = 38½ cm : 154 cm
L2 : L1 = 77: 308
L2 : L1 = 1: 4
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K2 : K1 = 22 cm: 44 cm
K2 : K1 = 1 : 2
Contoh Soal 4
Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm : 2.464 cm . Hitunglah
a. perbandingan keliling kedua lingkaran
b. selisih keliling kedua lingkaran;
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
Jawab:
Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm adalah:
L1 = πr
616 cm = π x r
616 cm = 22/7 x r
r = 196 cm
r = √196 cm
r = 14 cm
Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm adalah:
L2 = πr
2.464 cm = π x r
2.464 cm = 22/7 x r
r = 784 cm
r = √784 cm
r = 28 cm
a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah
K1 = 2πr
K1 = 2π x 14 cm
K1 = 2x22/7x 14 cm
K1 = 88 cm
Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:
K2 = 2πr
K2 = 2π x 28 cm
K2 = 2 x 22/7 x 28 cm
K2 = 176 cm
Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:
K1 : K2 = 88 cm : 176 cm
K1 : K2 = 1 : 2
b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:
K2 – K1 = 176 cm – 88 cm
K2 – K1 = 90 cm
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:
r : r = 14 cm : 28 cm
r : r = 1 : 2 cm
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
r – r : = 28 cm – 14 cm
r – r : = 14 cm
Contoh Soal 5
Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan
a. nilai a;
b. perbandingan luas dan kelilingnya;
c. selisih luas dan kelilingnya.
Jawab:
Diketahui:
r = a cm
r = 3a cm
r + r = 28 cm
ditanyakan:
a) nilai a = ?
b) L2 : L1 = ? dan K2 : K1 = ?
c) L2 – L1 = ? dan K2 – K1 = ?
Penyelesaiannya:
a) a cm + 3a cm = 28 cm
4a cm = 28 cm
a = 28 cm/4 cm
a = 7
b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.
r = a cm = 7 cm
L1 = πr
L1 = π( 7 cm )
L1 = 22/7 x 49 cm
L1 = 154 cm
K1 = 2πr
K1 = 2π ( 7 cm )
K1 = 2 x 22/7 x 7 cm
K1 = 44 cm
r = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm
L2 = πr
L2 = π( 21 cm )
L2 = 22/7 x 441 cm
L2 = 1.386 cm
K2 = 2πr
K2 = 2π ( 21 cm )
K2 = 2 x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Perbandingan luas lingkaran
L2 : L1 = 1.386 cm : 154 cm
L2 : L1 = 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran
K2 : K1 = 132 cm : 44 cm
K2 : K1 = 3 : 1
c ) Selisih luas lingkaran adalah
L2 – L1 = 1.386 cm – 154 cm
L2 – L1 = 1.232 cm
Selisih keliling lingkaran adalah
K2 – K1 = 132 cm – 44 cm
K2 – K1 = 88 cm
Soal Latihan Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah
1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari x cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
a. dua kalinya;
b. 2(x + 1) cm.
2. Diketahui diameter suatu lingkaran semula 56 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas lingkaran setelah diameternya
a. diperbesar empat kalinya;
b. diperkecil 1/3 kalinya.
3. Perbandingan keliling dua buah lingkaran adalah 154 cm : 308 cm. Hitunglah
a. perbandingan luas kedua lingkaran
b. selisih luas kedua lingkaran;
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
4. Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah r cm dan 5r cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 84 cm, tentukan
a. nilai r ;
b. perbandingan luas dan kelilingnya;
c. selisih luas dan kelilingnya.
C.Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar di bawah, sudut AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.
Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya
Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh
Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh
Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar di atas adalah
panjang busur AB = (α/360°) x 2πr
luas juring OAB = (α/360°) x πr
luas tembereng AB = luas juring OAB – luas ΔAOB.
Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring
Perhatikan gambar di atas, diketahui jari – jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°, hitunglah
1. panjang AB ;
2. luas juring OAB;
3. luas tembereng AB.
Penyelesaian:
1. Panjang AB = (∠ AOB/360°) x 2πr
Panjang AB = (90°/360°) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang AB = (1/4) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang AB =  44 cm
2. luas juring OAB = (∠ AOB/360°) x πr
luas juring OAB = (90°/360°) x 22/7 x (28 cm)
luas juring OAB = (1/4) x 22/7 x 28 x 28 cm
luas juring OAB = 616 cm
3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalahΔ siku-siku sisi 10 cm, sehingga
Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi
Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm
Luas Δ AOB = 392 cm
Luas tembereng AB = 616 cm – 392 cm Luas tembereng AB = 224 cm
PERSAMAAN GARIS LURUS
A.Cara Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus pada Bidang Cartesius
Sebelum anda mencoba menggambar menggambar grafik persamaan garis lurus y = mx + c pada bidang cartesius, Anda sebaiknya mempelajari terlebih dahulu tentang konsep Bidang Cartesius. Tanpa konsep tersebut anda tidak akan bisa mengerjakan cara menggambar grafik persamaan garis lurus y = mx + c pada bidang cartesius. Jika anda sudah paham dengan konsep tersebut baru anda lanjut ke materi ini.
Diketahui bahwa melalui dua buah titik dapat ditarik tepat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk menggambar grafik garis lurus pada bidang Cartesius dapat dilakukan dengan syarat minimal terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut, kemudian menarik garis lurus yang melalui kedua titik itu.
Untuk memudahkan menggambar garis sebaiknya anda mencarinya di titik x = 0 dan titik y = 0. Oke untuk memantapkan pemahaman kalian tentang persamaan garis lurus y = mx + c perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Gambarlah grafik persamaan garis lurus y = (3/2)x pada bidang Cartesius, jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.
Penyelesaian:
untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari nilai y dengan memasukan nilai x.
x = 0 maka
y = (3/2)x
y = 0 => (x,y) = (0,0)
untuk x = 1 maka
y = (3/2)x
y = (3/2)1
y = 3/2 => (x,y) = (1, 3/2)
untuk x = 2 maka
y = (3/2)x
y = (3/2)2
y = 3 => (x,y) = (2, 3)
Jadi grafik persamaan garis lurus y = (3/2)x pada bidang Cartesius seperti gambar berikut ini.
Contoh soal 2
Gambarlah grafik persamaan garis lurus y = 4x – 1 pada bidang Cartesius.
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari nilai y dengan memasukan nilai x.
x = 0 maka
y = 4x – 1
y = – 1 => (x,y) = (0, – 1)
untuk x = 1 maka
y = 4x – 1
y = 4.1 – 1
y = 3 => (x,y) = (1, 3)
Jadi grafik persamaan garis lurus y = 4x – 1 pada bidang Cartesius seperti gambar berikut ini.
Contoh soal 3
Gambarlah grafik persamaan garis lurus 2x – 3y = 12 pada bidang Cartesius.
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari nilai y dengan memasukan nilai x = 0 atau sebaliknya.
untuk x = 0 maka
2x – 3y = 12
2.0 – 3y = 12
y = – 4 => (x,y) = (0, – 4)
untuk y = 0 maka
2x – 3y = 12
2x – 3.0 = 12
x= 6 => (x,y) = (6, 0)
Jadi grafik persamaan garis lurus 2x – 3y = 12pada bidang Cartesius seperti gambar berikut ini
Contoh soal 4
Gambarlah grafik persamaan garis lurus x = 2y – 2 pada bidang Cartesius.
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini anda harus mencari nilai y dengan memasukan nilai x = 0 atau sebaliknya.
untuk x = 0 maka
x = 2y – 2
0 = 2y – 2
y = 1 => (x,y) = (0, 1)
untuk y = 0 maka
x = 2y – 2
x = 2.0 – 2
x= – 2 => (x,y) = (– 2, 0)
Jadi grafik persamaan garis lurus x = 2y – 2 pada bidang Cartesius seperti gambar berikut ini.
» Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Sebagian
Pernahkah anda membeli suatu barang dalam bentuk eceran? Atau pernahkan anda membeli barang dalam bentukkodi atau lusinan? Bagaimana cara menghitung nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian dari pembelian suatu barang?
Misalkan kamu membeli satu lusin buku tulis yang berisi 12 buku dengan harga Rp. 36.000,00, pasti kamu akan bertanya berapa harga satu bukunya? Harga satu buku merupakan harga satuan atau harga per unit. Harga satu lusin buku merupakan harga atau nilai keseluruhan buku yang kalian beli. Bila harga satuan sudah diketahui, maka kamu dapat mencari harga atau nilai sebagian dari buku yang kamu beli, misalkan harga 5 buah buku.
Nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian mempunyai suatu hubungan, yaitu:
Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit
Nilai per unit = nilai keseluruhan : banyak unit
Nilai sebagian = banyak sebagian unit x nilai per unit
Contoh Soal 1:
Edi membeli satu lusin buku tulis. Ia membayar dengan 3 lembar uang sepuluh ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp3.000,00.
a)       Tentukan harga pembelian seluruhnya.
b)       Tentukan harga pembelian tiap buku.
c)        Jika Edi hanya membeli 8 buah buku, berapakah ia harus membayar?
Penyelesaian:
a)       Harga pembelian = 3 x Rp10.000,00 – Rp3.000,00
= Rp30.000,00 – Rp3.000,00
= Rp27.000,00
Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp27.000,00.
b)       Harga untuk satu buku= Rp27.000,00./12
= Rp2.250,00
Jadi, harga tiap buku itu adalah Rp2.250,00.
c)        Harga untuk 8 buku = 8 x Rp2.250,00
= Rp18.000,00
Jadi, harga untuk 8 buku adalah Rp18.000,00.
Contoh Soal 2:
Ibu berbelanja ke pasar untuk membeli keperluan sehari-hari, yaitu: 2 kg ikan seharga Rp. 45.000,00; 10 liter beras seharga Rp. 55.000,00; 2 liter minyak goreng seharga Rp. 22.000,00, dan 3 kg telur ayam seharga Rp. 33.000,00. Tentukan jumlah uang yang dibayarkan ibu untuk membayar 1 kg ikan, 1 liter beras, 1 liter minyak, dan 1 kg telur ayam!
Penyelesaian:
Harga 2 kg ikan adalah Rp. 45.000,00. Maka,
harga 1 kg = ½ x Rp. 45.000,00
= Rp. 22.500,00
Harga 10 liter beras adalah Rp. 55.000,00. Maka,
harga 1 liter = 1/10 x Rp. 55.000,00
= Rp. 5.500,00
Harga 2 liter minyak adalah Rp. 22.000,00. Maka,
harga 1 liter = ½ x Rp. 22.000,00
= Rp. 11.000,00
Harga 3 kg telor ayam adalah Rp. 33.000,00. Maka,
harga 1 kg = 1/3 x Rp. 33.000,00
= Rp. 11.000,00
jumlah uang yang harus dibayar ibu untuk 1 kg ikan, 1 liter beras, 1 liter minyak goreng, dan 1 kg telur adalah:
Rp. 22.500,00 + Rp. 5.500,00 + Rp. 11.000,00 + Rp. 11.000,00 = Rp. 50.000,00
Jadi, jumlah uang yang harus dibayar ibu adalah Rp. 50.000,00
» Rabat (Diskon), Bruto, Tara, Dan Neto
Dalam dunia perdagangan dikenal istilah-istilah, seperti diskon (rabat), bruto, neto, dan tara. Pada bahasan berikut akan dijelaskan mengenai istilah-istilah tersebut.
1. Diskon (Rabat)
Pernahkah anda berbelanja di supermarket pada saat menjelang hari raya atau tahun baru? Pemilik supermarket pada saat menjelang hari raya atau tahun baru akan memberikan diskon. Ada yang memberikan diskon15% sampai 70%. Apa artinya pemberian diskon tersebut?
Diskon ini sama dengan potongan harga. Tujuan pemberian diskon ini adalah untuk menarik pembeli, sehingga pembeli yang awalnya tidak berniat membeli barang tesebut berniat membelinya karena mendapat diskon (potongan harga). Biasanya diskon (rabat) ini diperhitungkan dalam bentuk persen. Dalam pemakaiannya, terdapat perbedaan istilah antara rabat dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir, agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen, atau pengecer kepada konsumen.
Bagaimana cara menghitung besarnya diskon yang diberikan? Seandainya berbelanja di supermarket dan mendapat diskon dalam bentuk persen, berapa uang yang harus dibayarkan?
Cara menghitung besarnya diskon yang diberikan adalah dengan menggunkan persamaan berikut ini:
Diskon = Harga Pembelian x % Diskon
Sedangkan cara menghitung uang yang harus dibayarkan jika mendapat diskon adalah dengan menggunkan persamaan berikut:
Uang yang dibayarkan = Harga Pembelian – Diskon
Atau boleh juga menggunakan persamaan berikut:
Uang yang dibayarkan = Harga Pembelian – (Harga Pembelian x % Diskon)
Agar lebih jelas berikut  contoh penerapannya
Contoh 1.
Edo membeli baju kaos di supermarket dengan harga Rp. 200.000,00 dan mendapat diskon sebesar 25%. Berapa uang yang harus dibayarkan Edo dari pembelain baju kaos tersebut?
Penyelesaian:Diketahui:
Harga beli = Rp. 200.000
% diskon = 25%Ditanyakan: uang yang harus dibayarkan edo= ..?Penyelesaiannya:
Terlebih dahulu kita cari berapa harga diskon yang diberikan oleh supermarket dengan menggunakan persamaan sebelumnya
Diskon = Harga Pembelian x % Diskon
Diskon = Rp. 200.000 x 25%
Diskon = Rp. 200.000 x 25/100
Diskon = Rp. 50.000
Langkah selanjutnya adalah mencari berapa uang yang harus dibayarkan oleh Edo
Uang yang dibayarkan = Harga Pembelian – Diskon
Uang yang dibayarkan = Rp. 200.000– Rp. 50.000
Uang yang dibayarkan = Rp. 150.000Jadi, uang yang harus dibayarkan oleh edo untuk membeli baju kaos tersebut adalah sebesar Rp. 150.000,00
Contoh 2.
Ega membeli satu lusin buku di supermarket. Dalam buku tersebut tertera harga buku tersebut Rp. 36.000,00. Tetapi setelah membayarnya di kasir, Ega hanya membayar Rp. 32.400,00. Berapa % Ega mendapat potongan harga (diskon)?
PenyelesaianDiketahui:
Harga beli = Rp. 36.000
Uang yang dibayarkan = Rp. 32.400Ditanyakan: % diskon= ..?
Penyelesaiannya:
Terlebih dahulu kita cari berapa harga diskon yang diberikan oleh supermarket:
Diskon = Harga Pembelian – Uang yang dibayarkan
Diskon = Rp. 36.000 – Rp. 32.400
Diskon = Rp. 3.600
Langkah selanjutnya adalah mencari berapa % diskon yang diberikan oleh supermarket tersebut
% Diskon = (Diskon / Harga Pembelian) x 100%
% Diskon = (Rp. 3.600 / Rp. 36.000) x 100%
% Diskon = 0,1 x 100%
% Diskon = 10%
Jadi, Ega dalam membeli satu lusin buku tersebut mendapat diskon sebesar 10 %
2. Bruto, Netto, dan Tara
Misalnya pak Iwan menerima kiriman beras dari pasar induk sebanyak 10 karung. Pada tiap karung beras tersebut tertera tulisan neto 100 kg. Setelah dilakukan penimbangan ternyata massa beras beserta karungnya 102 kg. Lho kok bisa bertambah massa beras tersebut? Apakah terjadi kesalahan dalam menimbang beras tersebut?
Ternyata tidak, massa beras beserta karungnya merupakan massa kotor atau bruto, sedangkan massa beras tanpa karungnya merupakan massa bersih atau neto, dan massa karung itu sendiri merupakan tara. Jadi kalau dituliskan dalam rumus:
Bruto = Netto + Tara
» Menghitung Persentase Untung atau Rugi
Adakalanya dalam kehidupan sehari-hari untung atau rugi itu dinyatakan dalam bentuk persen . Biasanya persentase untung atau rugi dihitung dari harga pembelian, kecuali ada ketentuan lain. Misalkan dalam penjualan mobil , Sam mengalami kerugian sebesar 20% sedangkan dalam penjualan sepeda motor ia mendapatkan keuntungan sebesar 30%. Ini artinya Sam menderita kerugian 20% dari harga pembelian mobil dan mendapatkan keuntungan 30% dari harga pembelian sepeda motor.
Pada materi sebelumnya, kalian telah mengetahui mengenaipersen . Coba ingat kembali materi tersebut. Persen artinya per seratus. Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real . Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.
Atau dengan menggunakan persamaan berikut ini :
Presentase untung = untung/ harga pembelian x 100%
Presentase rugi = untung/harga pembelian x 100%
Rumus di atas dapat diterapkan pada:
Contoh Soal 1
Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp6.000,00 per kg. Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp620.000,00. Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu!
Penyelesaian:
Harga pembelian = 100 x Rp6.000,00 (Ingat: 1 kuintal = 100 kg)
= Rp600.000,00
Harga penjualan = Rp620.000,00
Harga penjualan lebih besar dari harga pembelian maka pedagang itu mengalami untung sebesar:
Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00
= Rp20.000,00
Persentase keuntungan pedagang itu adalah:
Presentase untung = untung / harga pembelian x 100%
%U = (Untung/ Harga Pembelian) x 100%
= (20.000/ 600.000) x 100%
= 3,33%
Contoh Soal 2
Seorang pedagang buah membeli jeruk manis sebanyak 75 kg dengan harga Rp. 375.000,00. Kemudian jeruk-jeruk itu dijual kembali Rp. 6.500,00 per kg. Tentukanlah:
a)       Harga penjualan
b)       Keuntungan yang diperoleh
c)        Persentase keuntungannya
Penyelesaian:
Harga beli untuk 75 kg adalah Rp. 375.000,00
a)       Harga penjualan total = 75 kg x Rp. 6.500,00 per kg
= Rp. 487.500,00
b)       Keuntungan = Rp. 487.500,00 – Rp. 375.000,00
= Rp. 112.500,00
c)        % keuntungan = (untung / harga pembelian) x 100%
= (112.500/ 375.000) x 100%
= 30%
Contoh Soal 3
Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras seharga Rp. 500.000,00 kemudian beras tersebut ia jual seharga Rp. 5.500,00 per kg. Setelah ditimbang ternyata berasnya menyusut menjadi 90 kg. Tentukanlah:
a)            Harga penjualan
b)            Kerugian
c)             Persentase kerugian yang diperoleh
Penyelesaian:
Harga beli 1 kuintal (100 kg) beras adalah Rp. 500.000,00 dan penyusutan 10 kg.
a)            Harga penjualan = 90 kg x Rp. 5.500,00
= Rp. 495.000,00
b)            Kerugian = harga pembelian – harga penjualan
= Rp. 500.000,00 – Rp. 495.000,00
= Rp. 5.000,00
c)             Persentase = (rugi/ harga beli) x 100%
= (5.000/ 500.000) x 100%
= 1%
» Cara Menghitung Besarnya Nilai Pajak
Perhatikan setiap oang tua Anda membayar pajak listrik. Pajak tersebut biasanya dibayarkan setiap bulan. Coba perhatikan juga pada acara kuis yang ada di televisi, di mana pajak ditanggung pemenang yang besarnya 25%. Perhatikan pula saat kalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya tertera tulisan harga ini sudah termasuk pajak. Jadi, menurut kalian, apa sebenarnya pajak itu?
Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan pemerintah. Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa. Banyak sekali jenis-jenis pajak, antara lain Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan Pajak Penghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kita pelajari pada postingan ini .
Jika kita membeli suatu barang, biasanya dikenakan pajak. Pajak tersebut ada yang sudah termasuk dalam label harga, ada juga yang belum. Pajak tersebut disebut Pajak Pertambahan Nilai atau disingkat PPN yang besarnya ditetapkan pemerintah sebesar 10%.
Selain itu, seseorang yang mendapatkan honororarium dari uang negara biasanya juga dikenakan pajak, yang biasanya disebut Pajak Penghasilan atau disingkat PPh , yang besarnya ditetapkan pemerintah sebesar 15%.
Sekarang perhatikan contoh berikut!
Contoh Soal Untuk PPN
Pada supermarket “Mafia Online” hampir semua label harga barang yang dijual belum termasuk PPN sebesar 10%. Jika Pak Rudi membeli sebuah Kulkas dengan label harga sebesar Rp1.500.000,00 berapa rupiah Pak Rudi harus membayar?
Penyelesaian:
Pertama hitung terlebih dahulu berapa besarnya nilai PPN sebesar 10%.
PPN = %pajak x harga beli
PPN = 10% x Rp1.500.000,00
PPN = Rp150.000,00
Jadi Pak Rudi harus membayar TV sebesar
PPN+Harga Beli = Rp1.500.000,00 + Rp150.000,00
PPN+Harga Beli = Rp1.650.000,00
Berikut Mafia Online akan berikan cara menghitung pajak penghasilan (PPh) dalam bentuk contoh soal.
Contoh Soal Untuk PPh
Pak Ogah memperoleh gaji Rp950.000,00 sebulan dengan penghasilan tidak kena pajak Rp380.000,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahui 10%, berapakah besar gaji yang diterima Pak Ogah per bulan?
Penyelesaian::
Diketahui:
Besar gaji = Rp950.000,00;
Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00
PPh = 10%
Ditanyakan: Besarnya gaji yang diterima = . . . . . ?
Jawab:
Terlebih dahulu hitung besarnya nilai penghasilan kena pajak dengan cara:
Penghasilan kena pajak = Besar gaji – Penghasilan tidak kena pajak
Penghasilan kena pajak = Rp950.000,00 – Rp380.000,00
Penghasilan kena pajak = Rp570.000,00
Langkah selanjutnya adalah menghitung pajak penghasilan (PPh) sebesar 10%, dengan cara:
Besar PPh = 10% x penghasilan kena pajak
Besar pajak penghasilan =10/100 x Rp 570.000,00
Besar PPh = Rp 57.000,00
Langkah terakhir adalah menghitung besarnya gaji yang diterima oleh Pak Ogah dengan cara sebagai berikut.
Gaji yang diterima = Besar gaji – Besar PPh
Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00
Gaji yang diterima = Rp893.000,00
Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalah Rp 893.000,00.
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari kembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi bilangan rasional berikut.
Definisi bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. Bilangan 1/2, ½, 2/3, – 2/5, – 3/7, dan – 5/9 merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada definisi bilangan rasional.
Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus mengalikan bilangan-bilangan berikut:
3 × 3
5 × 5 × 5
(–2) × (–2) × (–2) × (–2)
(1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5)
Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut.
3 × 3 ditulis 32 dan dibaca “tiga pangkat dua”.
5 × 5 × 5 ditulis 53 dan dibaca “lima pangkat tiga”.
(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)4 dan dibaca “negatif dua pangkat empat”.
Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dari perkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5). Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut. “Jika a bilangan rasional dan nbilangan bulat positif maka perkalian berulang nfaktor dari a ialah a ”.
Pada definisi tersebut, a disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan nsebagai pangkat (eksponen).
» Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Pelajari operasi hitung berikut.
3 × 3 = (3 x 3 x 3) x (3 x 3)
3 × 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
3 × 3 = 3
Jadi, 3 × 3 = 3 .
Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas sifat berikut ini . “Jika a bilangan rasional dan m, nbilangan bulat positif maka a × a = a ”
Contoh Soal Tentang Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
1. 5 × 5 = 5 = 5
2. (–2) × (–2) = (–2) = (–2)
3. 2 × 3 tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokoknya tidak sama.
4. 3y × y = 3y = 3y , dengan y = bilangan rasional.
5. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan menggunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = ½gt2 . Dalam hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda dijatuhkan daripuncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 s. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat itu 9,8 m/s , berapa meterkah tinggi gedung tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/s
Ditanyakan: h = ?
h = ½gt
h = ½ × 9,8 × (4,9)
h = 4,9 × (4,9)
h= (4,9)
h= (4,9)
h = 117,649
Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter.
» Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Pelajari operasi hitung berikut.
3 /3 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3)/(3 x 3)
3 /3 = 3 x 3 x 3
3 /3 = 3
3 /3 = 3
Jadi, 3 /3 = 3
Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi sifat berikut. “Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positif maka a /a = a dengan m > n.
Contoh Soal Tentang Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
1. 3 /3 = 3 = 3 = 27
2. (–5) /(–5) = (–5) = (–5) = 25
3. 2p /p = 2p = 2p
4. Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak melingkar dirumuskan a = v /r . Dalam halini a = percepatan sentripetal bersatuan m/s , v = kecepatan benda bersatuan m/s, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan m. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/s percepatan sentripetal mobil tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui:
r = 16 m
v = 57,6 km/jam = 57.600 m/3.600 s = 16 m/s
Ditanyakan a ?
Jawab:
a = v /r
a = 16 /16
a = 16
a = 16
a = 16
Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/s .
» Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Pelajari operasi hitung berikut ini.
(2 ) = (2 x 2 x 2)
(2 ) = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)
(2 ) = 2
(2 ) = 2
Jadi, (2 ) = 2 = 2 = 2
Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka (a ) = a = a
Contoh Soal Tentang Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
1. (3 ) = 3 = 3
2. [(½) ] = (½) = (½)
3. Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yang bergerak dengan kecepatan v m/s dirumuskan Ek = ½ mv . Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27 m/s. Berapa joule energi kinetik benda tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui:
m = 6 kg
v = 27 m/s = 3 m/s
Ditanyakan: Ek = ?
Jawab:
Ek = ½mv = 1
Ek = ½ × 6 × (3 )
Ek = 3 × 3
Ek = 3 × 36
Ek = 3
Ek = 3
Ek = 2.187
Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule.
» Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian
Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a × b) = a × b
1. (2 × 5) = 2 × 5 = 4 × 25 = 100
2. {(–3) × 2) = (–3) × 2 = –27 × 8 = –216
3. (–3pq) = (–3) × p × q = 81p q
2. Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 10 ohm dialiri arus 3 × 10 ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan?
Penyelesaian:
Diketahui:
R = 2 × 10 ohm
I = 3 × 10 A
t = 2 menit = 120 s
Ditanyakan: W = ?
W = I x R x t
W = (3 × 10 ) × 2 × 10 × 120
W = 3 × (10 ) × 2 × 10 × 1,2 × 10
W = 9 × 2,4 × 10 × 10 × 10
W = 21,6 × 10
W = 2,16 × 10
Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 10 joule.
» Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat
Konsep penjumlahan bilangan berpangkat seperti berikut. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif , dengan m ≥ nmaka pa + qa = a
( p + qa )
Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut berlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat seperti berikut. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka
pa – qa = a (p – qa )
pa – qa = a (pa – q)
Contoh Soal
1. 2 + 2 = 2 (1 + 2 )
2 + 2 = 2 × 5 = 5 × 2
2. 5 – 5 = 5 (1 – 5 )
5 – 5 = 5 × (–2 ) = –24 × 5
3. 3 × 7 – 2 × 7 = 7 (3 × 7 – 2)
3 × 7 – 2 × 7 = 7 × 19 = 19 × 7
» Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif
Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif , telah dipelajari bahwa untuk a adalah bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m > n, berlaku a /a = a
Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai contoh, amatilah bentuk berikut.
a /a = a = a … (1)
Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktorfaktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
a /a = (a x a x a)/(a x a x a x a x a)
a /a = 1/(a x a)
a /a = 1/a … (2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a = 1/a .
Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan sebaliknya. Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut.
1/a = a , a ≠ 0
Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator.
4 = 0,25 = 1/4
3 = 0,111 … = 1/9 = 1/3
2 = 0,125 = 1/8 = 1/2
Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut. Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka a = 1/a
Contoh Soal
Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif.
a. 5
b. 2
Penyelesaian:
a. 5 = 1/5
b. 2 = 1/2
Sifat pangkat bilangan bulat positif berlaku juga untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat negatif.
Contoh Soal
a. 5 × 5 = 5 = 5 = 5 × 5 = 25
b. (-3) /(-3) = (–3) = (–3) = ((–3) ) = (-1/3)
» Pengertian Pangkat Nol
Kamu telah mempelajari Sifat bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu a /a = a , dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat, m ≠ 0, n ≠ 0, serta m ≠ n. Sekarang, amati sifat tersebut untuk m = n.
Sebagai contoh, a /a = a = a … (1)
Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
a /a = (a x a x a x a x a)/( a x a x a x a x a) = 1 … (2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a = 1.
Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat nol seperti definisi berikut. a = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0
Pos - pos terdahulu
SOAL - SOAL LATIHAN MATEMATIKA SMP
34
x x
34
x x 34
5x 3x 34
5 3
3
SOAL - SOAL LATIHAN MATEMATIKA SMP
CARA CEPAT BELAJAR MATEMATIKA